时态逻辑规则系统 (Temporal Logic Rules)

推导基础: 模态逻辑 + 时间结构

基础时态算子

GP: "总是P" (Globally P, Always P)  
FP: "终有P" (Finally P, Eventually P)  
XP: "下时刻P" (Next P)  
PUQ: "P直到Q" (P Until Q)  

时态对偶性

TD1: GP ≡ ¬F¬P  
TD2: FP ≡ ¬G¬P  

线性时态逻辑 (LTL)

基本公理

T1: G(P → Q) → (GP → GQ)  
T2: GP → P  
T3: GP → XGP  
T4: FP ↔ (P ∨ XFP)  
T5: PUQ ↔ (Q ∨ (P ∧ X(PUQ)))  

归纳原理

IND: (P ∧ G(P → XP)) → GP  
解释: 如果P现在为真且总是蕴含下时刻为真，则P总是为真  

分支时态逻辑 (CTL)

路径量词

A: 在所有路径上 (All paths)  
E: 存在路径 (Exists path)  

CTL公式形式

AGP: 在所有路径上总是P  
EFP: 存在路径使终有P  
AX P: 在所有路径上下时刻P  
EX P: 存在路径使下时刻P  

存在时态规则

ET1: 存在永恒性

规则: Exists(E) ⊢ AGExists(E)  
解释: 基础存在在所有时刻的所有路径上都存在  

ET2: 信息单调性

规则: Info(i, t) ⊢ AG(t' ≥ t → CanExist(Info(i, t')))  
解释: 信息一旦产生就不会消失  

ET3: 超越必然性

规则: ∀s ⊢ EF∃s' • Transcend(s', s)  
解释: 任何状态必将在某条路径上被超越  

ET4: 观察连续性

规则: Observer(o, t) ⊢ AXObserver(o, t+1)  
解释: 观察者在下一时刻仍然存在  

时间结构规则

TS1: 时间线性

规则: ∀t₁, t₂ • (t₁ < t₂) ∨ (t₁ = t₂) ∨ (t₂ < t₁)  
解释: 任意两个时刻都有确定的先后关系  

TS2: 时间稠密性

规则: ∀t₁ < t₂ ⊢ ∃t₃ • t₁ < t₃ < t₂  
解释: 任意两个时刻间总有中间时刻  

TS3: 时间离散性

规则: ∀t ⊢ ∃t' • Next(t, t') ∧ ¬∃t'' • t < t'' < t'  
解释: 每个时刻都有唯一的下一时刻  

时态逻辑与存在哲学的连接

TC1: 展开时态性

规则: Unfold(x, t) ⊢ G(t' ≥ t → |Unfold(x, t')| ≥ |Unfold(x, t)|)  
解释: 展开过程在时间中单调递增  

TC2: 观察历史性

规则: Aware(o, i, t) ⊢ G(t' ≥ t → CanRecall(o, i, t'))  
解释: 观察创造可回忆的历史  

TC3: 超越方向性

规则: Transcend(s', s, t) ⊢ AX(Level(s', t+1) ≥ Level(s', t))  
解释: 超越在时间中保持或提升层次  

形式化表述

时态结构 M = ⟨T, <, V⟩  
其中: T = 时刻集合  
     < = 时间先后关系  
     V = 时刻评价函数  

路径 π = ⟨t₀, t₁, t₂, ...⟩ where tᵢ < tᵢ₊₁  

严格证明

证明：G(P ∧ Q) ↔ (GP ∧ GQ)

第一步: 证明 G(P ∧ Q) → (GP ∧ GQ)

1. 假设 G(P ∧ Q)
2. 对任意时刻t：(P ∧ Q)(t)
3. 合取消除：P(t), Q(t)
4. 因此：GP, GQ
5. 合取引入：GP ∧ GQ

第二步: 证明 (GP ∧ GQ) → G(P ∧ Q)

1. 假设 GP ∧ GQ
2. 合取消除：GP, GQ
3. 对任意时刻t：P(t), Q(t)
4. 合取引入：(P ∧ Q)(t)
5. 因此：G(P ∧ Q)

证明完成 □