量化逻辑规则系统 (Quantification Logic Rules)
推导基础: 一阶逻辑 + 高阶量化
一阶量化逻辑
基本量词
∀x P(x): "对所有x，P(x)"
∃x P(x): "存在x，P(x)"
∃!x P(x): "存在唯一x，P(x)"
量词等价性
QE1: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)
QE2: ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
QE3: ∃!x P(x) ≡ ∃x (P(x) ∧ ∀y (P(y) → x = y))
量词分配律
QD1: ∀x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ (∀x P(x) ∧ ∀x Q(x))
QD2: ∃x (P(x) ∨ Q(x)) ≡ (∃x P(x) ∨ ∃x Q(x))
受限量化
类型受限
∀x:T P(x): "对所有类型T的x，P(x)"
∃x:T P(x): "存在类型T的x使得P(x)"
条件量化
∀x (Q(x) → P(x)): "对所有满足Q的x，P(x)"
∃x (Q(x) ∧ P(x)): "存在满足Q的x使得P(x)"
高阶量化
谓词量化
∀P ∃x P(x): "对任何谓词P，都存在x满足P"
∃P ∀x P(x): "存在谓词P，对所有x都满足P"
函数量化
∀f:A→B ∃g:B→A (g ∘ f = id_A): "任何函数都有左逆"
∃f:A→A ∀x:A (f(x) = x): "存在恒等函数"
存在量化规则
EQ1: 存在域量化
规则: ∀x ∈ Domain • (Exists(x) → Property(x))
解释: 在存在域内的全称量化
应用: ∀x ∈ 𝔻 • (Exists(x) → Transcendable(x))
EQ2: 存在唯一性
规则: ∃!E • (Independent(E) ∧ ∀x (Exists(x) → Depends(x, E)))
解释: 基础存在的唯一性
证明: 由A1公理保证
EQ3: 观察者域量化
规则: ∀o ∈ Observers • ∃i ∈ Information • Aware(o, i)
解释: 所有观察者都观察某些信息
基础: A4公理的展开
EQ4: 状态超越量化
规则: ∀s ∈ States • ∃s' ∈ States • Transcend(s', s)
解释: 所有状态都可被超越
基础: A5公理的量化形式
复杂量化模式
CQ1: 嵌套量化
规则: ∀x ∃y ∀z P(x,y,z) → ∃f ∀x ∀z P(x, f(x), z)
解释: 选择函数的存在
应用: 观察者对信息的选择
CQ2: 交换量化
规则条件: 当x,y无依赖时
∀x ∃y P(x,y) ≢ ∃y ∀x P(x,y)
应用: 存在与超越的关系分析
CQ3: 限制量化域
规则: (∀x:Domain P(x)) ≡ (∀x (x ∈ Domain → P(x)))
应用: 将存在域的量化转为条件量化
量化与模态的结合
QM1: 必然量化
规则: □∀x P(x) → ∀x □P(x) (Barcan公式)
条件: 在固定域语义下成立
应用: 存在的必然属性
QM2: 可能量化
规则: ∃x ◊P(x) → ◊∃x P(x) (逆Barcan公式)
条件: 允许域变化的语义
应用: 可能存在的实体
量化与时态的结合
QT1: 时态量化
规则: G∀x P(x) ≡ ∀x GP(x) (在固定域下)
解释: 全称量化与时态算子的交换
QT2: 存在时态化
规则: F∃x P(x) → ∃x FP(x) (增长域下)
解释: 存在量化在时间中的分配
存在哲学中的量化应用
EA1: 递归量化
∀n ∈ ℕ • ∃T_n • (RecursiveGeneration(T_n, T_{n-1}) ∧ Consistent(T_n))
解释: 理论系统的无限递归生成
EA2: 层次量化
∀L ∈ Levels • ∃L' ∈ Levels • (L' > L ∧ Transcend(L', L))
解释: 层次结构的无限性
EA3: 意识量化
∃φ • (φ ≥ φ^10 ∧ ∀C • (Complexity(C) ≥ φ → Conscious(C)))
解释: 意识阈值的存在
形式化表述
量化结构 = ⟨Domain, Relations, Functions, Quantifiers⟩
Domain: 量化域
Relations: 域上的关系
Functions: 域上的函数
Quantifiers: {∀, ∃, ∃!} ∪ 高阶量词
严格证明
证明：∀x (P(x) → Q(x)), ∀x P(x) ⊢ ∀x Q(x)
证明步骤：
- 设任意 a ∈ Domain
- 由前提2：P(a) (全称消除)
- 由前提1：P(a) → Q(a) (全称消除)
- 由2,3：Q(a) (肯定前件)
- 因为a是任意的：∀x Q(x) (全称引入)