模态逻辑规则系统 (Modal Logic Rules)

推导基础: 经典逻辑 + 可能世界语义学

基础模态算子

□P: "必然P" (Necessarily P)  
◊P: "可能P" (Possibly P)  

模态对偶性

MD1: ◊P ≡ ¬□¬P  
MD2: □P ≡ ¬◊¬P  

K系统 - 最小模态逻辑

K公理

K: □(P → Q) → (□P → □Q)  

必然化规则 (Necessitation)

N: 如果 ⊢ P，则 ⊢ □P  

T系统 - 反身模态逻辑

T公理

T: □P → P  
语义: 必然的事情在现实世界为真  

S4系统 - 反身传递模态逻辑

S4公理

4: □P → □□P  
语义: 如果P必然，那么P必然地必然  

S5系统 - 等价关系模态逻辑

S5公理

5: ◊P → □◊P  
语义: 如果P可能，那么P必然地可能  

存在模态规则

EM1: 存在必然性

规则: Exists(E) ⊢ □Exists(E)  
解释: 基础存在的必然性  

EM2: 自指必然性

规则: SelfDef(x) ⊢ □SelfDef(x)  
解释: 自指性质的必然性  

EM3: 超越可能性

规则: ∀s ⊢ ◊∃s' • Transcend(s', s)  
解释: 任何状态都可能被超越  

形式化表述

模态语言L_□ = 经典命题逻辑 + {□, ◊}  
模型M = ⟨W, R, V⟩  
其中: W = 可能世界集合  
     R = 可及关系  
     V = 评价函数  

严格证明

证明：□(P ∧ Q) ↔ (□P ∧ □Q)

第一步: 证明 □(P ∧ Q) → (□P ∧ □Q)

1. 假设 □(P ∧ Q)
2. 由T公理：P ∧ Q (在当前世界)
3. 合取消除：P, Q
4. 由N规则：□P, □Q
5. 合取引入：□P ∧ □Q

第二步: 证明 (□P ∧ □Q) → □(P ∧ Q)

1. 假设 □P ∧ □Q
2. 合取消除：□P, □Q
3. 对任意可及世界w：P(w), Q(w)
4. 合取引入：(P ∧ Q)(w)
5. 因此 □(P ∧ Q)

证明完成 □