T3-4: 量子隐形传态定理

定理陈述

定理 T3-4（量子隐形传态定理）：在自指完备系统中，量子信息可以通过纠缠关联和经典通信实现隐形传态。

形式化表述

设 $|\psi ⟩$ 是待传输的量子态，$|{\Phi }^{+}⟩$ 是纠缠态。则存在操作序列 $\{M_i,U_j\}$，使得：

$$|\psi {⟩}_A\otimes |{\Phi }^{+}{⟩}_{BC}\stackrel{M_A,U_C}{\to }|\psi {⟩}_C$$ 其中下标表示粒子位置，$M_A$ 是 Alice 的测量，$U_C$ 是 Charlie 的幺正操作。

证明

证明：

1. 初始态的构造：

   • 待传输态：$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$
   • 纠缠态：$|{\Phi }^{+}{⟩}_{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩{)}_{BC}$
   • 复合态：$|\Psi {⟩}_{ABC}=|\psi {⟩}_A\otimes |{\Phi }^{+}{⟩}_{BC}$

2. Bell基测量：

   • Alice 对粒子 A 和 B 进行 Bell 基测量
   • Bell 基：$\{|{\Phi }^{+}⟩,|{\Phi }^{-}⟩,|{\Psi }^{+}⟩,|{\Psi }^{-}⟩\}$
   • 测量结果决定粒子 C 的状态变换

3. 经典信息传输：

   • Alice 获得 2 比特经典信息 $(i,j)$
   • 通过经典通道传输给 Charlie
   • 由 D1-4，此过程需要时间 $\Delta t>0$

4. 幺正操作的应用：

   • 根据 Alice 的测量结果，Charlie 应用相应的幺正操作：
   • 若 $(i,j)=(0,0)$：$U=I$（恒等操作）
   • 若 $(i,j)=(0,1)$：$U={\sigma }_z$（Pauli-Z 操作）
   • 若 $(i,j)=(1,0)$：$U={\sigma }_x$（Pauli-X 操作）
   • 若 $(i,j)=(1,1)$：$U={\sigma }_y$（Pauli-Y 操作）

5. 信息保真度：

   • 传输完成后，粒子 C 的状态为 $|\psi {⟩}_C$
   • 保真度：$F=|⟨\psi |{\psi }_C⟩{|}^2=1$（完美传输）
   • 原始态 $|\psi {⟩}_A$ 被破坏（no-cloning 定理）

6. 自指完备性的体现：

   • 整个过程中，系统保持自指完备性
   • 信息从 A 传输到 C，但总信息量守恒
   • 纠缠关联确保信息的非局域传输

∎

物理意义

此定理揭示了：

• 量子隐形传态是自指完备系统的信息传输机制
• 纠缠关联允许信息的"瞬间"传输
• 经典通信的需要体现了时间的不可逆性

应用价值

1. 量子通信：安全的量子信息传输
2. 量子计算：量子态的非局域操作
3. 信息理论：量子信息与经典信息的关系

关联定理

• 依赖于：D1-4, T3-1, T3-2, T3-3
• 应用于：T3-5（量子纠错定理）
• 连接到：T1-1（熵增必然性）