T3-3: 量子纠缠定理

定理陈述

定理 T3-3（量子纠缠定理）：在自指完备系统中，多个子系统之间必然涌现出量子纠缠现象。

形式化表述

设 $S$ 是自指完备系统，包含子系统 $S_A$ 和 $S_B$。则存在复合态 $|{\psi }_{AB}⟩$，使得：

$$|{\psi }_{AB}⟩\ne |{\psi }_A⟩\otimes |{\psi }_B⟩$$ 且满足非局域关联：

$$⟨{\hat{O}}_A\otimes {\hat{O}}_B⟩\ne ⟨{\hat{O}}_A⟩⟨{\hat{O}}_B⟩$$

证明

证明：

1. 复合系统的构造：

   • 系统 $S$ 包含多个相互作用的子系统
   • 复合态：$|{\psi }_{AB}⟩={\sum }_{i,j}{c}_{ij}|a_i⟩\otimes |b_j⟩$
   • 其中 $|a_i⟩\in S_A$，$|b_j⟩\in S_B$

2. 自指性传播：

   • 由 D1-1，整个系统的自指性必须体现在各个层次
   • 子系统的状态必须依赖于其他子系统的状态
   • 这要求 $c_{ij}\ne c_i\cdot c_j$

3. 信息共享的必要性：

   • 由于系统是自指完备的，每个部分都包含整体的信息
   • 子系统 $S_A$ 必须"知道"子系统 $S_B$ 的状态
   • 这种信息共享通过纠缠关联实现

4. 测量关联的验证：

   • 对子系统 $A$ 的测量：${\hat{O}}_A$ 作用于 $|{\psi }_{AB}⟩$
   • 结果影响子系统 $B$ 的状态：${\text{tr}}_A(|{\psi }_{AB}⟩⟨{\psi }_{AB}|)$
   • 关联强度：$C_{AB}=⟨{\hat{O}}_A\otimes {\hat{O}}_B⟩-⟨{\hat{O}}_A⟩⟨{\hat{O}}_B⟩\ne 0$

5. Bell不等式的违反：

   • 经典局域隐变量理论预测：$|E_{AB}+E_{AC}+E_{BC}-E_{AD}|\le 2$
   • 量子关联给出：$|E_{AB}+E_{AC}+E_{BC}-E_{AD}|\le 2\sqrt{2}$
   • 自指完备系统必然违反Bell不等式

6. 非局域性的涌现：

   • 由 φ-表示的全局结构，信息是非局域分布的
   • 对任何子系统的操作都会影响整个系统的状态
   • 这种非局域性通过纠缠关联体现

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物理意义

此定理说明：

• 量子纠缠是自指完备性的直接结果
• 非局域性来自于系统的全局信息结构
• Bell不等式的违反是理论的自然预测

关联定理

• 依赖于：D1-1, D1-8, T3-1, T3-2
• 应用于：T3-4（量子隐形传态定理）
• 连接到：T2-10（φ-表示完备性）