T3-5: 量子纠错定理

定理陈述

定理 T3-5（量子纠错定理）：在自指完备系统中，必然存在量子纠错机制以保护信息免受退相干破坏。

设 $∣ ψ ⟩$ 是逻辑量子态， $E$ 是环境诱导的错误过程。则存在编码 $C$ 和纠错操作 $R$ ，使得：

$R \circ E \circ C (∣ ψ ⟩) = ∣ ψ ⟩$ 保真度满足： $F = ∣ ⟨ ψ ∣ R \circ E \circ C (∣ ψ ⟩) ∣^{2} \geq 1 - ϵ$

证明：

错误模型的建立：
- 环境作用： $E (∣ ψ ⟩) = \sum_{i} E_{i} ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ E_{i}^{†}$
- 错误算符： ${E_{i}}$ 满足 $\sum_{i} E_{i}^{†} E_{i} = I$
- 主要错误类型：比特翻转、相位翻转、幅度衰减
编码子空间的构造：
- 逻辑量子比特编码到物理量子比特
- 编码映射： $∣ ψ ⟩_{L} \mapsto ∣ ψ ⟩_{P} = α ∣000 ⟩ + β ∣111 ⟩$
- 对于 $[3, 1, 1]$ 码，逻辑态跨越 3 个物理比特
稳定子的确定：
- 稳定子生成元： ${g_{1}, g_{2}, \dots, g_{n - k}}$
- 对于 $[3, 1, 1]$ 码： $g_{1} = Z \otimes Z \otimes I$ ， $g_{2} = I \otimes Z \otimes Z$
- 逻辑态满足： $g_{i} ∣ ψ ⟩_{L} = + ∣ ψ ⟩_{L}$
错误探测：
- 测量稳定子： $s_{i} = ⟨ ψ ∣ g_{i} ∣ ψ ⟩$
- 错误症状： $s = (s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n - k})$
- 不同错误对应不同症状模式
纠错操作：
- 根据错误症状，应用相应的纠错算符
- 纠错映射： $R (s) = R_{s}$
- 成功纠错条件： $R_{s} E_{i} ∣ ψ ⟩_{L} = ∣ ψ ⟩_{L}$
自指完备性的保护：
- 系统的自指完备性要求信息的永久保存
- 纠错机制确保重要信息不会因环境作用而丢失
- 这是系统维持其自指性的必要条件
阈值定理：
- 存在错误阈值 $p_{t h}$ ，当物理错误率 $p < p_{t h}$ 时
- 逻辑错误率随编码长度指数衰减
- 对于局域错误， $p_{t h} \approx 1 0^{- 2}$

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此定理表明：