D1-2：二进制表示定义

定义概述

二进制表示是自指完备系统中信息编码的基础形式。该定义建立在D1-1自指完备性的基础上，为后续的约束条件和φ-表示系统提供数学基础。

形式化定义

定义1.2（二进制表示）

对于自指完备系统S，其二进制表示定义为：

$$\text{BinaryRep}(S)\equiv \exists \text{Encode}:S\to \{0,1{\}}^{\ast }\text{ 满足四个条件：}$$

条件1：编码完整性（唯一可解码性） $$\forall s_1,s_2\in S:s_1\ne s_2\Rightarrow \text{Encode}(s_1)\ne \text{Encode}(s_2)$$ 编码函数在S上是单射的。

条件2：前缀自由性（即时可解码） $$\forall s_1,s_2\in S:\text{Encode}(s_1)\text{ 不是 }\text{Encode}(s_2)\text{ 的前缀}$$ 任何码字都不是其他码字的前缀。

条件3：自嵌入性（自指完备性要求） $$\text{Encode}\in \text{Domain}(\text{Encode})\wedge \text{Encode}(\text{Encode})\in \text{Range}(\text{Encode})$$ 编码函数能够编码自身。

条件4：编码封闭性 $$\text{Encode}(s)\in \{0,1{\}}^{\ast }\subseteq \mathcal{L}\subseteq \mathcal{S}$$ 编码结果是形式语言的元素，也是可能的系统状态。

基本性质

性质1.2.1（编码空间）

二进制字符串空间$\{0,1{\}}^{\ast }$包括：

• 空串：$\epsilon$
• 有限长度串：$\{0,1{\}}^n$ for all $n\ge 1$
• 所有有限二进制串的集合

性质1.2.2（解码存在性）

若$\text{Encode}$满足定义1.2的四个条件，则存在解码函数： $$\text{Decode}:\text{Range}(\text{Encode})\to S$$ 使得$\text{Decode}\circ \text{Encode}={\text{id}}_S$

性质1.2.3（长度下界）

对于包含$|S|$个状态的系统，任何满足条件1-2的编码必须满足： $$\underset{s\in S}{\max }|\text{Encode}(s)|\ge \lceil {\log }_2|S|\rceil$$

性质1.2.4（自指对偶性）

在二进制表示中，符号0和1构成完全对偶： $$0\equiv \neg 1,1\equiv \neg 0$$ 这种对偶性反映了自指系统的内在对称性。

符号约定

• $\{0,1{\}}^{\ast }$：所有有限长度二进制串的集合
• $|s|$：字符串s的长度
• $\epsilon$：空字符串
• $s_1\circ s_2$：字符串连接
• $\text{prefix}(s_1,s_2)$：$s_1$是$s_2$的前缀

与其他定义的关系

依赖关系

• 基于：D1-1 (自指完备性定义)
• 支持：D1-3 (no-11约束定义)，D1-8 (φ-表示定义)

引用文件

• 引理L1-2将证明二进制基底的必然性
• 定理T2-2将证明二进制表示的唯一性
• 推论C2-1将建立二进制同构性质

形式化特征：

• 类型：定义 (Definition)
• 编号：D1-2
• 状态：完整形式化定义
• 验证：符合严格定义标准

注记：本定义提供二进制表示的形式化框架，所有必然性证明和推导将在相应的引理和定理文件中完成。