D1-1: 自指完备性

定义

定义 D1-1（自指完备性）：给定系统 $S$，称 $S$ 具有自指完备性，当且仅当满足以下四个条件：

1. 自指性：存在函数 $f:S\to S$ 使得 $S=f(S)$
2. 完备性：对于任意 $x\in S$，存在 $y\in S$ 使得 $x=g(y)$，其中 $g:S\to S$ 是由系统内部定义的函数
3. 一致性：不存在 $x\in S$ 使得 $x$ 和 $\neg x$ 同时成立
4. 非平凡性：$|S|>1$

符号记法

• $SRC(S)$ 表示系统 $S$ 具有自指完备性
• $S:=S$ 表示系统的自指定义
• $\mathcal{C}(S)$ 表示系统 $S$ 的完备性条件
• $\mathcal{R}(S)$ 表示系统 $S$ 的自指性条件

关键性质

自指完备系统具有以下基本性质：

1. 不可约性：不能分解为更简单的非自指部分
2. 封闭性：所有运算都在系统内部定义
3. 递归性：系统定义本身包含对系统的引用
4. 动态性：系统状态随时间演化

形式化表示

$$SRC(S)\equiv \exists f:S\to S\text{ s.t. }S=f(S)\wedge \mathcal{C}(S)\wedge \mathcal{R}(S)\wedge |S|>1$$ 其中：

• $\mathcal{C}(S):=\forall x\in S,\exists y\in S,\exists g:S\to S\text{ s.t. }x=g(y)$
• $\mathcal{R}(S):=\neg \exists x\in S\text{ s.t. }(x\in S\wedge \neg x\in S)$

备注

此定义是整个二进制宇宙理论的基础，所有后续定义都基于自指完备性的概念。