C1-2: 最优长度推论

推论陈述

推论 C1-2（最优长度推论）：φ-表示系统中的编码长度是信息论意义下的最优长度。

形式化表述

设 $s\in S$ 是系统状态，$\varphi (s)$ 是其 φ-表示。则编码长度 $L(s)=|\varphi (s)|$ 满足：

$$L(s)=\lceil {\log }_{\phi }(s)\rceil$$ 其中 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 是黄金比例，且此长度是最优的。

证明

证明：

1. 长度计算：

   • 由 D1-8，$s$ 的 φ-表示为 $s={\sum }_{i=1}^k{F}_i$
   • 其中 $F_i$ 是修正斐波那契数列的元素
   • 编码长度 $L(s)=k$

2. 最优性证明：

   • 由 L1-4（no-11 最优性引理），no-11 约束是最优的
   • 在 no-11 约束下，φ-表示达到最大信息密度
   • 因此 $L(s)$ 是最优长度

3. 信息论下界：

   • 由 Shannon 信息论，最小编码长度为 $\lceil {\log }_{2}N\rceil$
   • 其中 $N$ 是可能状态数
   • 在 φ-表示中，$N={\phi }^k$，因此最小长度为 $\lceil {\log }_{\phi }(s)\rceil$

4. 渐近最优性：

   • 当 $s\to \infty$ 时，$L(s)\approx {\log }_{\phi }(s)$
   • 编码效率 $\eta =\frac{{\log }_{\phi }(s)}{L(s)}\to 1$
   • 因此 φ-表示是渐近最优的

5. 与其他编码的比较：

   • 二进制编码：$L_{\text{binary}}(s)=\lceil {\log }_2(s)\rceil$
   • φ-表示：$L_{\phi }(s)=\lceil {\log }_{\phi }(s)\rceil$
   • 由于 $\phi <2$，有 $L_{\phi }(s)>L_{\text{binary}}(s)$
   • 但 φ-表示具有 no-11 约束的优势

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物理意义

此推论说明：

• φ-表示在给定约束条件下是最优的
• 黄金比例在信息编码中具有特殊地位
• 自然系统倾向于采用最优编码方案

应用价值

1. 数据压缩：指导压缩算法设计
2. 通信理论：信道编码的理论基础
3. 生物信息学：DNA 编码的优化

关联定理

• 依赖于：D1-8, L1-4, T2-10, C1-1
• 应用于：C1-3（编码密度推论）