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C1-1: 唯一编码推论

推论陈述

推论 C1-1(唯一编码推论):在自指完备的二进制编码系统中,每个状态都有唯一的编码表示。

形式化表述

是自指完备的二进制编码系统,满足 no-11 约束。则对于任意状态 ,存在唯一的二进制序列 ,使得:

其中 是 φ-表示映射。

证明

证明

  1. 存在性

    • 由 T2-2(编码完备性定理),任意状态都可以编码
    • 由 T2-7(φ-表示必然性定理),φ-表示存在
  2. 唯一性

    • 由 D1-8(φ-表示定义),φ-表示是双射
    • 由 L1-6(φ-表示建立引理),修正斐波那契数列确保双射性
    • 因此每个状态对应唯一的编码
  3. 完备性验证

    • 编码函数 是单射
    • 由 T2-10(φ-表示完备性定理), 也是满射
    • 因此 是双射,确保唯一性

应用

此推论是以下理论的基础:

  • 信息理论中的无损编码
  • 量子计算中的量子态编码
  • 数据压缩算法的理论基础

关联定理

  • 依赖于:D1-8, L1-6, T2-2, T2-7, T2-10
  • 应用于:C1-2(编码长度推论)