C1-1: 唯一编码推论
推论陈述
推论 C1-1(唯一编码推论):在自指完备的二进制编码系统中,每个状态都有唯一的编码表示。
形式化表述
设 是自指完备的二进制编码系统,满足 no-11 约束。则对于任意状态 ,存在唯一的二进制序列 ,,使得:
其中 是 φ-表示映射。
证明
证明:
-
存在性:
- 由 T2-2(编码完备性定理),任意状态都可以编码
- 由 T2-7(φ-表示必然性定理),φ-表示存在
-
唯一性:
- 由 D1-8(φ-表示定义),φ-表示是双射
- 由 L1-6(φ-表示建立引理),修正斐波那契数列确保双射性
- 因此每个状态对应唯一的编码
-
完备性验证:
- 编码函数 是单射
- 由 T2-10(φ-表示完备性定理), 也是满射
- 因此 是双射,确保唯一性
∎
应用
此推论是以下理论的基础:
- 信息理论中的无损编码
- 量子计算中的量子态编码
- 数据压缩算法的理论基础
关联定理
- 依赖于:D1-8, L1-6, T2-2, T2-7, T2-10
- 应用于:C1-2(编码长度推论)