C1-3: 信息密度推论

推论陈述

推论 C1-3（信息密度推论）：φ-表示系统在 no-11 约束条件下达到最大信息密度。

形式化表述

设 ${\mathcal{S}}_n$ 是长度为 $n$ 的满足 no-11 约束的二进制序列集合。则信息密度 ${\rho }_n$ 满足：

$${\rho }_n=\frac{{\log }_2|{\mathcal{S}}_n|}{n}\to {\log }_2\phi \text{ as }n\to \infty$$ 其中 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 是黄金比例。

证明

证明：

1. 序列计数：

   • 定义 $F_n$ 为长度为 $n$ 的满足 no-11 约束的序列数
   • 由 L1-5（斐波那契涌现引理），$F_n$ 遵循修正斐波那契递推关系
   • $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，其中 $F_1=2$, $F_2=3$

2. 渐近行为：

   • 由斐波那契数列的性质，$F_n\sim \frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$
   • 因此 $|{\mathcal{S}}_n|=F_n\sim \frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$

3. 信息密度计算：

   • ${\rho }_n=\frac{{\log }_2{F}_n}{n}$
   • ${\lim }_{n\to \infty }{\rho }_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{{\log }_2({\phi }^n/\sqrt{5})}{n}$
   • $={\lim }_{n\to \infty }\frac{n{\log }_2\phi -{\log }_2\sqrt{5}}{n}$
   • $={\log }_2\phi$

4. 最大性证明：

   • 考虑任意其他约束 $\mathcal{C}$
   • 如果 $\mathcal{C}$ 比 no-11 更严格，则 $|{\mathcal{S}}_n^{\mathcal{C}}|<|{\mathcal{S}}_n|$
   • 如果 $\mathcal{C}$ 比 no-11 更宽松，则违反了 L1-3（约束必要性引理）
   • 因此 no-11 约束下的信息密度是最大的

5. 熵的观点：

   • 定义熵：$H_n={\log }_2|{\mathcal{S}}_n|$
   • 熵密度：$h_n=\frac{H_n}{n}={\rho }_n$
   • ${\lim }_{n\to \infty }{h}_n={\log }_2\phi$

6. 与标准二进制的比较：

   • 标准二进制：${\rho }_{\text{binary}}={\log }_{2}2=1$
   • φ-表示：${\rho }_{\phi }={\log }_2\phi \approx 0.694$
   • 虽然 ${\rho }_{\phi }<1$，但 φ-表示具有结构优势

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物理意义

此推论揭示了：

• 黄金比例在信息理论中的基础地位
• 约束条件与信息密度之间的权衡关系
• 自然系统的信息编码倾向

应用价值

1. 信道容量：约束信道的容量上界
2. 编码理论：结构化编码的设计
3. 复杂系统：自组织系统的信息特征

关联定理

• 依赖于：L1-3, L1-5, T2-10, C1-1, C1-2
• 应用于：C2-1（观测效应推论）