T0-20 Zeckendorf度量空间基础理论 - 形式化
理论标识
- 编号: T0-20
- 名称: Zeckendorf度量空间基础理论
- 类型: 基础理论
- 依赖: T0-3 (Zeckendorf约束涌现), A1 (唯一公理)
形式化系统
1. 语言 L
L = (C, F, R, V) where:
- C = {0, 1, φ, ∅} ∪ ℕ ∪ ℝ⁺ // 常量
- F = {v, d_Z, ||, Fib, Zeck} // 函数符号
- R = {∈, <, ≤, =, ≠, ∼} // 关系符号
- V = {x, y, z, n, ε, ...} // 变量
2. 公理系统 A
A1: Zeckendorf空间定义
∀z ∈ Z: z ∈ {0,1}* ∧ ¬Contains(z, "11")
A2: 数值映射
∀z = b_n...b_1 ∈ Z: v(z) = Σᵢ₌₁ⁿ bᵢ·Fib(i)
A3: 度量定义
∀x,y ∈ Z: d_Z(x,y) = |v(x) - v(y)|/(1 + |v(x) - v(y)|)
A4: Fibonacci递归
Fib(1) = 1 ∧ Fib(2) = 2 ∧ ∀n≥3: Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2)
A5: 唯一性公理
∀n ∈ ℕ: ∃!z ∈ Z: v(z) = n
3. 推理规则 R
R1: 度量空间规则
NonNeg: ⊢ d_Z(x,y) ≥ 0
Identity: d_Z(x,y) = 0 ⊢ x = y
Symmetry: d_Z(x,y) = a ⊢ d_Z(y,x) = a
Triangle: ⊢ d_Z(x,z) ≤ d_Z(x,y) + d_Z(y,z)
R2: 完备性规则
Cauchy: ∀ε>0 ∃N ∀m,n>N: d_Z(x_m,x_n) < ε
Convergence: Cauchy({x_n}) ⊢ ∃x* ∈ Z: lim x_n = x*
R3: 压缩映射规则
Contraction: d_Z(M(x),M(y)) ≤ k·d_Z(x,y) ∧ k < 1
FixedPoint: Contraction(M) ∧ Complete(Z) ⊢ ∃!x*: M(x*) = x*
4. 定理模式
T1: 完备性定理
⊢ Complete(Z, d_Z)
T2: 压缩常数定理
∀M self-referential: ⊢ k_M = φ⁻¹
T3: 收敛速率定理
∀x₀ ∈ Z: ⊢ d_Z(M^n(x₀), x*) ≤ φ⁻ⁿ·d_Z(x₀, x*)
T4: 熵增定理
∀M contraction: ⊢ H(M^(n+1)(x)) - H(M^n(x)) = log(φ) + o(1)
语义模型
1. 标准模型
M_std = (D, I) where:
- D = Z (Zeckendorf strings)
- I(v) = Fibonacci valuation
- I(d_Z) = normalized metric
- I(φ) = (1+√5)/2
2. 计算模型
M_comp = (D_fin, I_alg) where:
- D_fin = finite Zeckendorf strings
- I_alg = algorithmic interpretation
- Decidable operations
元定理
健全性
Γ ⊢ φ ⟹ Γ ⊨ φ
所有可证明的定理在模型中为真。
完备性（相对于度量空间理论）
Γ ⊨_metric φ ⟹ Γ ⊢ φ
所有度量空间的真命题都可证明。
可判定性
∃ Algorithm A: ∀φ ∈ L_finite: A(φ) = {⊢φ, ⊢¬φ, undecidable}
计算复杂度
空间复杂度
- Zeckendorf编码: O(log n)
- 度量计算: O(log n)
- 不动点存储: O(log n)
时间复杂度
- 编码转换: O(log n)
- 度量计算: O(log n)
- 不动点迭代: O(log_φ ε⁻¹)
与其他理论的关系
前置依赖
- T0-3: 提供No-11约束
- A1: 自指完备性要求
后续应用
- C11-3: 理论不动点
- C20-2: ψ自映射
- T0-4: 递归编码
- T27-7: 循环自指
形式化验证检查点
公理一致性
- No-11约束与度量相容
- 唯一性与完备性相容
- 压缩性与熵增相容
定理可证性
- 完备性定理已证
- 压缩常数推导完整
- 收敛速率证明严格
计算可行性
- 算法可实现
- 复杂度界已证明
- 数值稳定性保证
关键洞察
- 度量的选择: d_Z(x,y) = |v(x)-v(y)|/(1+|v(x)-v(y)|) 保证有界性
- 压缩常数的普遍性: φ⁻¹出现在所有自指系统中
- 完备性的必要性: 保证不动点存在
- Fibonacci数的中心性: 作为度量空间的骨架
开放问题
- 高维Zeckendorf空间的完备性？
- 非确定性映射的不动点？
- 量子Zeckendorf度量？
- 与其他数系的度量空间比较？