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T23-3 φ-博弈演化稳定性定理

依赖关系

  • 前置定理: T23-2 (φ-博弈均衡存在性定理), T23-1 (φ-博弈策略涌现定理)
  • 前置推论: C20-1 (collapse-aware观测推论)
  • 前置定义: D1-8 (φ-表示系统), D1-7 (Collapse算子)
  • 唯一公理: A1 (自指完备系统必然熵增)

定理陈述

定理 T23-3 (φ-博弈演化稳定性定理): 基于T23-2的φ-Nash均衡理论,演化稳定策略(ESS)在φ-博弈系统中必须满足严格的熵增稳定性条件:

  1. φ-ESS的定义: 策略是演化稳定的,当且仅当对任何入侵策略,存在入侵阈值,使得当入侵比例时:

2. 熵增稳定性条件: φ-ESS必须满足局部熵最大化:

其中是策略分布的熵

  1. 演化动力学的φ-调制: 复制动力学方程在φ-系统中修正为:

其中是策略的频率,是适应度,熵梯度项确保熵增

  1. 稳定性半径: φ-ESS的稳定性半径为:

其中策略表示为(Fibonacci数的φ-幂)

  1. 演化收敛时间: 从任意初始分布收敛到ESS的时间满足:

其中是收敛精度

证明

第一步:从熵增原理推导ESS条件

由唯一公理,自指完备系统必然熵增。在演化博弈中,策略分布的演化必须满足: 考虑策略分布的熵: 对于候选ESS策略(纯策略或混合策略),定义入侵后的分布: 其中是ESS分布,是入侵分布。

熵增要求 泰勒展开到二阶: 由于是局部最大值的候选,一阶项为零。二阶项必须为负(严格凹性): 这确保了熵的局部最大性,是φ-ESS的必要条件。

第二步:建立演化稳定性的φ-条件

经典ESS条件(Maynard Smith):

  1. 对所有(Nash均衡条件)
  2. 如果,则(稳定性条件)

φ-ESS扩展: 在φ-系统中,收益函数包含熵贡献: 其中是条件熵,反映策略在面对时的不确定性。

对于Zeckendorf编码的策略,条件熵为: 其中是Zeckendorf表示的第位。

φ-ESS判据: 策略是φ-ESS当且仅当:

  1. 对所有
  2. 存在使得对

第三步:推导演化动力学的φ-修正

标准复制动力学: 在φ-系统中,考虑熵增约束,动力学修正为: 熵梯度项: 这确保了演化过程中的熵增。时间尺度因子反映了φ-系统的内在时间结构。

Lyapunov函数: 定义

沿轨迹的导数: 这证明了φ-ESS的渐近稳定性。

第四步:计算稳定性半径

对于φ-策略,考虑邻近策略

策略距离(在φ-度量下): 稳定性半径定理: φ-ESS 能抵抗所有满足的入侵策略,其中: 证明:考虑入侵动力学 时,括号内的项对小为负,因此

第五步:演化收敛时间分析

从初始分布到φ-ESS 的收敛由以下估计给出:

要达到精度 需要时间: 由于(概率单纯形内),得: 这完成了证明。∎

数学形式化

class PhiEvolutionaryStableStrategy:
    """φ-演化稳定策略实现"""
    
    def __init__(self, game_system: PhiGameSystem):
        self.game = game_system
        self.phi = (1 + np.sqrt(5)) / 2
        self.invasion_threshold = 1.0 / (self.phi ** 2)
        
    def is_phi_ess(self, strategy: PhiStrategy, tolerance: float = 1e-6) -> bool:
        """判断策略是否为φ-ESS"""
        # 1. 检查Nash均衡条件
        if not self._is_nash_equilibrium(strategy):
            return False
            
        # 2. 检查熵的严格凹性
        if not self._check_entropy_concavity(strategy):
            return False
            
        # 3. 检查入侵稳定性
        return self._check_invasion_stability(strategy, tolerance)
        
    def _check_entropy_concavity(self, strategy: PhiStrategy) -> bool:
        """检查熵的二阶导数条件"""
        # 计算策略分布的Hessian矩阵
        hessian = self._compute_entropy_hessian(strategy)
        
        # 检查负定性(所有特征值 < -1/φ)
        eigenvalues = np.linalg.eigvals(hessian)
        return np.all(eigenvalues < -1.0/self.phi)
        
    def _check_invasion_stability(self, resident: PhiStrategy, 
                                 tolerance: float) -> bool:
        """检查对入侵策略的稳定性"""
        strategies = self.game.strategy_space.get_all_strategies()
        
        for mutant in strategies:
            if mutant != resident:
                # 测试不同入侵比例
                for epsilon in [0.001, 0.01, 0.1]:
                    if epsilon < self.invasion_threshold:
                        # 混合群体
                        mixed_pop = (1 - epsilon) * resident + epsilon * mutant
                        
                        # 计算适应度
                        resident_fitness = self._compute_fitness(resident, mixed_pop)
                        mutant_fitness = self._compute_fitness(mutant, mixed_pop)
                        
                        # ESS条件
                        if mutant_fitness >= resident_fitness - tolerance:
                            return False
                            
        return True
        
    def compute_stability_radius(self, ess: PhiStrategy) -> float:
        """计算ESS的稳定性半径"""
        min_distance = float('inf')
        strategies = self.game.strategy_space.get_all_strategies()
        
        for strategy in strategies:
            if strategy != ess:
                distance = abs(ess.value - strategy.value)
                min_distance = min(min_distance, distance)
                
        return min_distance / self.phi
        
    def evolve_to_ess(self, initial_dist: Dict[PhiStrategy, float],
                     max_time: int = 1000) -> Dict[PhiStrategy, float]:
        """演化到ESS的动力学模拟"""
        current_dist = initial_dist.copy()
        dt = 0.1
        
        for t in range(max_time):
            # 计算平均适应度
            avg_fitness = self._compute_average_fitness(current_dist)
            
            # 更新每个策略的频率
            new_dist = {}
            for strategy, freq in current_dist.items():
                fitness = self._compute_fitness(strategy, current_dist)
                entropy_grad = -np.log(freq) - 1 if freq > 0 else 0
                
                # φ-复制动力学
                change = (freq / self.phi) * (fitness - avg_fitness + entropy_grad)
                new_freq = freq + dt * change
                new_freq = max(0, min(1, new_freq))
                new_dist[strategy] = new_freq
                
            # 归一化
            total = sum(new_dist.values())
            if total > 0:
                new_dist = {s: f/total for s, f in new_dist.items()}
                
            # 检查收敛
            if self._has_converged(current_dist, new_dist):
                return new_dist
                
            current_dist = new_dist
            
        return current_dist
        
    def verify_convergence_time(self, ess: PhiStrategy, 
                               delta: float = 0.01) -> float:
        """验证收敛时间上界"""
        theoretical_bound = (self.phi ** 2) * np.log(1.0 / delta)
        return theoretical_bound

物理解释

  1. 生物进化: 物种策略的演化稳定状态遵循φ-ESS条件
  2. 文化演化: 社会规范和文化模因的稳定传播
  3. 市场演化: 交易策略在金融市场中的长期稳定性

实验可验证预言

  1. 入侵阈值: 成功入侵需要超过的初始频率
  2. 收敛时间: 演化到稳定状态的时间与成正比
  3. 稳定性半径: ESS的稳定域大小与成正比

应用示例

# 创建φ-博弈系统
network = WeightedPhiNetwork(n_initial=5)
game = PhiGameSystem(network, n_players=5)

# 初始化ESS分析器
ess_analyzer = PhiEvolutionaryStableStrategy(game)

# 寻找候选ESS
strategies = game.strategy_space.get_all_strategies()
for strategy in strategies[:10]:  # 测试前10个策略
    if ess_analyzer.is_phi_ess(strategy):
        print(f"找到φ-ESS: {strategy}")
        
        # 计算稳定性半径
        radius = ess_analyzer.compute_stability_radius(strategy)
        print(f"稳定性半径: {radius:.4f}")
        
        # 验证收敛时间
        conv_time = ess_analyzer.verify_convergence_time(strategy, delta=0.01)
        print(f"理论收敛时间上界: {conv_time:.2f}")
        
        # 模拟演化动力学
        initial = {s: 1/len(strategies) for s in strategies}
        final = ess_analyzer.evolve_to_ess(initial)
        
        # 分析最终分布
        dominant = max(final.items(), key=lambda x: x[1])
        print(f"演化终态: {dominant[0]} (频率={dominant[1]:.3f})")
        break

注记: T23-3建立了演化稳定策略在φ-博弈系统中的完整理论,揭示了ESS必须满足的熵增稳定性条件。入侵阈值和收敛时间都体现了黄金比例在演化稳定性中的基础作用。