C2-3: 信息守恒推论

推论陈述

推论 C2-3（信息守恒推论）：在自指完备系统中，总信息量在系统演化过程中保持守恒。

形式化表述

设 $S(t)$ 是系统在时刻 $t$ 的状态，$I(t)$ 是对应的信息量。则：

$$\frac{dI}{dt}=0$$ 但信息的分布可能发生变化：

$$I_{\text{total}}(t)=I_{\text{system}}(t)+I_{\text{observer}}(t)=\text{constant}$$

证明

证明：

1. 信息量的定义：

   • 由 D1-8，系统状态的信息量：$I(s)={\log }_2|\mathcal{S}(s)|$
   • 其中 $\mathcal{S}(s)$ 是与状态 $s$ 兼容的状态集合
   • 总信息量：$I_{\text{total}}={\sum }_{i}I(s_i)$

2. 演化过程的分析：

   • 系统演化由自指映射 $\varphi :S(t)\to S(t+dt)$ 驱动
   • 由 D1-1，$\varphi$ 保持系统的自指完备性
   • 因此 $\varphi$ 是信息保持的

3. 信息重新分布：

   • 观测过程：$I_{\text{system}}\to I_{\text{system}}^{\prime }+I_{\text{observer}}$
   • 由 C2-1，观测器获取信息：$\Delta I_{\text{observer}}>0$
   • 系统信息相应减少：$\Delta I_{\text{system}}<0$
   • 但总和保持不变：$\Delta I_{\text{total}}=0$

4. 熵的对应：

   • 信息量与熵的关系：$I=-S$（符号相反）
   • 由 T1-1（熵增必然性定理），$\frac{dS}{dt}\ge 0$
   • 因此 $\frac{dI}{dt}\le 0$（信息量可能减少）

5. 守恒的解释：

   • 表面上信息量减少，实际上是信息变得"不可访问"
   • 不可访问的信息存储在系统与观测器的关联中
   • 总信息量（包括关联信息）保持守恒

6. 量子信息的类比：

   • 类似于量子力学中的幺正演化保持信息
   • 纠缠态的信息分布在子系统间
   • 局部信息可能减少，但总信息守恒

7. 编码层面的守恒：

   • φ-表示的总"编码容量"不变
   • 编码长度的总和保持常数
   • 编码的重新分配不改变总容量

∎

物理意义

此推论说明：

• 信息是宇宙的基本守恒量
• 熵增与信息守恒的统一
• 观测过程中的信息转移

应用价值

1. 黑洞物理：霍金辐射的信息悖论
2. 计算理论：可逆计算的基础
3. 热力学：信息热力学的发展

关联定理

• 依赖于：D1-1, D1-8, T1-1, C2-1, C2-2
• 应用于：C3-1（系统演化推论）