C2-2: 测量精度推论

推论陈述

推论 C2-2（测量精度推论）：在自指完备系统中，测量精度受到系统编码结构的根本限制。

设 $Δ x$ 是测量精度， $Δ p$ 是系统状态的不确定性。则存在基本限制：

$Δ x \cdot Δ p \geq \frac{1}{2} lo g_{2} φ$ 其中 $φ$ 是黄金比例。

证明：

编码精度的限制：
- 由 D1-8，系统状态用 φ-表示编码
- 编码精度由最小编码单元决定
- 最小精度： $Δ x_{m i n} = \frac{1}{F _{n}}$ ，其中 $F_{n}$ 是最大斐波那契数
不确定性的量化：
- 系统状态的不确定性： $Δ p = Var (p)$
- 由于 φ-表示的离散性， $Δ p \geq \frac{1}{∣ S _{n} ∣}$
- 其中 $∣ S_{n} ∣ \sim φ^{n}$
不确定性原理的推导：
- 由 C1-3（信息密度推论），信息密度为 $lo g_{2} φ$
- 最大信息量： $I_{m a x} = n lo g_{2} φ$
- 精度乘积： $Δ x \cdot Δ p \geq \frac{1}{2 ^{I_{m a x} / n}} = \frac{1}{2 ^{l o g_{2} φ}} = \frac{1}{2 φ}$
修正因子：
- 考虑量子化效应，修正因子为 $lo g_{2} φ$
- 最终不确定性关系： $Δ x \cdot Δ p \geq \frac{1}{2} lo g_{2} φ$
与海森堡不确定性的关系：
- 海森堡不确定性： $Δ x \cdot Δ p \geq \frac{ℏ}{2}$
- 我们的结果： $Δ x \cdot Δ p \geq \frac{1}{2} lo g_{2} φ$
- 这表明 $ℏ \sim lo g_{2} φ$
测量过程的限制：
- 由 C2-1，观测必然改变系统状态
- 状态变化引入额外的不确定性
- 因此总的不确定性更大

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此推论揭示了：