T0-26: φ-拓扑不变量理论 - 形式化
基本定义
定义26.1: φ-拓扑空间
设X为拓扑空间，若其拓扑由φ-编码约束定义，则称X为φ-拓扑空间。
形式化：
∀U ∈ τ(X), ∃{a_n} ∈ ℤ_φ : U = ⋃ᵢ B_φⁱ
其中B_φⁱ是φ-编码基本开集。
定义26.2: Zeckendorf拓扑数
设X为紧致φ-拓扑空间，定义其Zeckendorf拓扑数为：
χ_φ(X) := Σₙ₌₀^∞ φ⁻ⁿ · β_n(X)
其中β_n(X)为第n个φ-Betti数。
定义26.3: φ-系数同调群
设C_*(X)为X的奇异链复形，定义φ-系数同调群：
H_n(X, ℤ_φ) := Ker(∂_n : C_n(X) ⊗ ℤ_φ → C_{n-1}(X) ⊗ ℤ_φ) /
Im(∂_{n+1} : C_{n+1}(X) ⊗ ℤ_φ → C_n(X) ⊗ ℤ_φ)
主要定理
定理26.1: φ-拓扑不变性定理
陈述: 设f: X → Y为φ-同胚映射，则χ_φ(X) = χ_φ(Y)。
证明: 设f*: H_(X, ℤ_φ) → H_(Y, ℤ_φ)为f诱导的同态。
由于f为φ-同胚，有：
- f为同构：f ∘ (f⁻¹)* = id
- 保持φ-编码：f*(ℤ_φ) = ℤ_φ
因此：
χ_φ(Y) = Σₙ φ⁻ⁿ · β_n(Y)
= Σₙ φ⁻ⁿ · dim_ℤ_φ(H_n(Y, ℤ_φ))
= Σₙ φ⁻ⁿ · dim_ℤ_φ(H_n(X, ℤ_φ)) [由f*同构]
= χ_φ(X)
定理26.2: 量子霍尔电导率公式
陈述: 在φ-拓扑绝缘体中，霍尔电导率满足：
σ_H = (e²/h) · Σₙ φⁿ · ν_n
其中ν_n为第n个Chern数的φ-编码。
证明: 考虑Brillouin环面T²上的波函数|ψ(k)⟩，其Berry连接为：
A_μ(k) = -i⟨ψ(k)|∂_μ|ψ(k)⟩
定义φ-编码的Chern数：
ν_φ = (1/2π) ∫_T² F₁₂(k) d²k
其中F₁₂ = ∂₁A₂ - ∂₂A₁为Berry曲率。
由于No-11约束，波函数满足：
|ψ(k + 2π)⟩ = e^{iφⁿ}|ψ(k)⟩
这导致Chern数的φ-量子化：
ν_φ = Σₙ φⁿ · ν_n, ν_n ∈ ℤ
由Kubo公式，霍尔电导率为：
σ_H = (e²/h) · ν_φ = (e²/h) · Σₙ φⁿ · ν_n
定理26.3: φ-拓扑能隙定理
陈述: φ-拓扑绝缘体的能隙满足：
Δ = φⁿ · Δ₀ · (1 + O(φ⁻ᵐ))
其中n为主导Chern数，m为次级修正指数。
证明: 考虑有效哈密顿量：
H_eff = v_F σ · k + M(k)σ_z
质量项M(k)在拓扑相变点为零，在φ-编码系统中：
M(k) = m₀ + Σₙ mₙ e^{iφⁿk·aₙ}
能隙为：
Δ = min_k |M(k)|
在拓扑非平凡相中，主导项为：
M(k) ≈ m₀ + m₁ cos(φk) + O(φ²)
能隙最小值出现在k = π/φ处：
Δ = |m₀ - m₁| · φⁿ + O(φⁿ⁺¹)
定理26.4: Berry相位的φ-量子化
陈述: 在φ-拓扑系统中，几何Berry相位满足：
γ = φⁿ · 2π/N, n ∈ ℤ_φ, N ∈ ℕ
证明: 设参数空间路径C: R(t), t ∈ [0,T]，Berry相位为：
γ = ∮_C A(R) · dR
在φ-编码系统中，波函数满足周期性：
|ψ(R + L_φ)⟩ = e^{iφ·θ}|ψ(R)⟩
其中L_φ为φ-晶格常数。
Berry连接的φ-编码展开：
A(R) = Σₙ aₙ e^{iφⁿR/L_φ}
积分沿闭合路径：
γ = ∮_C (Σₙ aₙ e^{iφⁿR/L_φ}) · dR
由于路径的φ-量子化条件，仅φⁿ项贡献：
γ = 2π · Σₙ φⁿ · mₙ = φⁿ · 2π/N
定理26.5: 拓扑熵界定理
陈述: φ-拓扑系统的拓扑熵S_topo满足：
S_topo ≤ k_B ln(φⁿ) · χ_φ(X)
证明: 拓扑熵来源于拓扑简并态的数目。设基态简并度为g，则：
S_topo = k_B ln(g)
在φ-编码系统中，简并度由拓扑不变量决定：
g = φⁿ¹ × φⁿ² × ... = φ^{Σᵢnᵢ}
其中Σᵢnᵢ由Zeckendorf拓扑数确定：
Σᵢ nᵢ ≤ n · χ_φ(X)
因此：
S_topo = k_B ln(φ^{Σᵢnᵢ}) ≤ k_B ln(φⁿ) · χ_φ(X)
推论和应用
推论26.1: φ-指数定理
Index(D_φ) = ∫_X Â(X) ∧ ch(E_φ) · φ^{rank(E_φ)}
其中D_φ为φ-编码Dirac算子。
推论26.2: Atiyah-Singer指数的φ-修正
Index(D) = ∫_X Â(X) ∧ ch(E) + φ⁻¹ · Δ_φ(X)
其中Δ_φ(X)为φ-拓扑修正项。
数值验证方法
算法26.1: φ-拓扑不变量计算
输入: φ-拓扑空间X的三角剖分T
输出: Zeckendorf拓扑数χ_φ(X)
1. 计算单纯复形的边界算子 ∂_n
2. 构造φ-系数链群 C_n(X) ⊗ ℤ_φ
3. 计算同调群 H_n(X, ℤ_φ) = Ker(∂_n)/Im(∂_{n+1})
4. 计算φ-Betti数 β_n = dim_ℤ_φ(H_n(X, ℤ_φ))
5. 返回 χ_φ(X) = Σₙ φ⁻ⁿ · β_n
算法26.2: 霍尔电导率精确计算
输入: Bloch哈密顿量H(k)
输出: φ-量子化的霍尔电导率σ_H
1. 计算本征态 |u_n(k)⟩
2. 计算Berry连接 A_μ = -i⟨u_n|∂_μ u_n⟩
3. 计算Berry曲率 F = dA
4. 积分获得Chern数 ν = (1/2π)∫F
5. φ-编码分解 ν = Σₙ φⁿ · ν_n
6. 返回 σ_H = (e²/h) · Σₙ φⁿ · ν_n
相容性检验
与T0-15的相容性
空间维度涌现理论T0-15中的有效维度与拓扑不变量相关：
d_eff = ⌊log_φ(χ_φ(X))⌋ + d₀
与T0-24的相容性
基本对称性理论T0-24中的对称群作用保持拓扑不变量：
∀g ∈ G_φ: χ_φ(gX) = χ_φ(X)
与量子场论的对应
Z_φ[X] = ∫ 𝒟φ e^{-S_φ[φ,X]} = φ^{-χ_φ(X)} · Z_class[X]
开放问题的形式化
问题26.1: 高维φ-拓扑不变量
是否存在d>3维的φ-拓扑空间满足：
χ_φ(X^d) = φ^d · χ_φ(X^3) + O(φ^{d-1})
问题26.2: 非阿贝尔φ-拓扑态
对于非阿贝尔规范群G，如何定义：
H_n(X, π_1(G) ⊗ ℤ_φ)
问题26.3: 动态拓扑不变量
时间依赖系统的拓扑不变量χ_φ(X,t)是否满足：
∂_t χ_φ(X,t) = φ^{-1} · J_φ(X,t)
其中J_φ为φ-拓扑流。