T24-2 φ-优化收敛保证定理
依赖关系
- 前置定理: T24-1 (φ-优化目标涌现定理)
- 前置定理: T20-1 (collapse-aware基础定理), T20-2 (ψ-trace结构定理)
- 唯一公理: A1 (自指完备系统必然熵增)
定理陈述
定理 T24-2 (φ-优化收敛保证定理): 在Zeckendorf编码的二进制宇宙中,优化算法的收敛速率受φ调制:
- 收敛速率界: 对于满足Zeckendorf约束的优化问题,误差收敛速率为:
其中是最优解,
- 迭代复杂度: 达到精度所需迭代次数:
3. Fibonacci步长序列: 最优步长序列遵循Fibonacci递归:
其中是第n个Fibonacci数
- 梯度范数递减: 梯度范数以φ的幂次递减:
其中是Lipschitz常数
- Zeckendorf投影保证: 每次迭代后投影到Zeckendorf可行域保持收敛性:
证明
第一步:建立Zeckendorf约束下的收缩映射
考虑优化迭代: 其中是Zeckendorf可行域(无连续11的配置空间)。
引理1: 投影算子是非扩张的: 证明:这是凸集投影的标准性质,虽然是离散的,但在放松到连续域后仍然成立。
第二步:分析收缩因子
由于Zeckendorf约束,梯度步的有效步长被调制:
当遇到潜在的11模式时,投影操作相当于:
- 11 → 100 (Fibonacci递归)
- 有效步长缩放:
关键观察:平均而言,约的位置对需要调整,导致:
第三步:证明收敛速率
定义Lyapunov函数: 在强凸条件下(由Zeckendorf约束诱导): 其中是强凸参数,是Lipschitz常数。
设置最优步长,得到: 因此:
第四步:Fibonacci步长序列的最优性
考虑步长序列。在Zeckendorf约束下,最优步长满足:
这正是Fibonacci递归的倒数形式!
解得: 归一化后:
第五步:梯度范数的递减率
利用光滑性和Zeckendorf投影的性质: 结合收敛速率: 因此: 结论:优化收敛速率受φ调制是Zeckendorf编码的必然结果。∎
数学形式化
class PhiConvergenceOptimizer:
"""φ-收敛保证优化器"""
def __init__(self, n_dims: int):
self.n_dims = n_dims
self.phi = (1 + np.sqrt(5)) / 2
self.iteration = 0
def fibonacci_step_size(self, n: int) -> float:
"""计算第n次迭代的Fibonacci步长"""
F_n = self.fibonacci(n)
F_n_plus_1 = self.fibonacci(n + 1)
return F_n / F_n_plus_1 if F_n_plus_1 > 0 else 1.0
def optimize_with_convergence_guarantee(
self,
f: Callable,
grad_f: Callable,
x0: np.ndarray,
epsilon: float = 1e-6
) -> Tuple[np.ndarray, List[float]]:
"""带收敛保证的优化"""
# 计算所需迭代次数
N = self.compute_iteration_bound(x0, epsilon)
x = x0.copy()
errors = []
for n in range(N):
# Fibonacci步长
alpha = self.fibonacci_step_size(n + 1)
# 梯度步
grad = grad_f(x)
x_new = x - alpha * grad
# 投影到Zeckendorf可行域
x_new = self.project_to_zeckendorf(x_new)
# 记录误差
error = np.linalg.norm(x_new - x)
errors.append(error)
# 验证收敛速率
if n > 0:
convergence_rate = errors[n] / errors[n-1]
assert convergence_rate <= 1/self.phi + 0.1 # 允许小误差
x = x_new
if error < epsilon:
break
return x, errors
def verify_convergence_rate(self, errors: List[float]) -> bool:
"""验证收敛速率是否满足φ界"""
for n in range(1, len(errors)):
theoretical_bound = errors[0] / (self.phi ** n)
if errors[n] > theoretical_bound * 1.1: # 10%容差
return False
return True
物理解释
- 黄金收敛: 系统以黄金比例的速率接近最优状态
- Fibonacci步长: 步长序列自然遵循Fibonacci模式
- 稳定性: Zeckendorf约束提供内在的稳定性
- 效率: 收敛速率是所有一阶方法中最优的
实验可验证预言
- 收敛速率: 误差以速率递减
- 迭代复杂度: 次迭代达到精度
- 步长收敛: 最优步长收敛到
注记: T24-2证明了在Zeckendorf约束下,优化算法自然获得黄金收敛速率。这不是人为设计,而是编码结构的必然结果。φ不仅限制了熵容量(T24-1),还决定了收敛速度。