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T24-2 φ-优化收敛保证定理

依赖关系

  • 前置定理: T24-1 (φ-优化目标涌现定理)
  • 前置定理: T20-1 (collapse-aware基础定理), T20-2 (ψ-trace结构定理)
  • 唯一公理: A1 (自指完备系统必然熵增)

定理陈述

定理 T24-2 (φ-优化收敛保证定理): 在Zeckendorf编码的二进制宇宙中,优化算法的收敛速率受φ调制:

  1. 收敛速率界: 对于满足Zeckendorf约束的优化问题,误差收敛速率为:

其中是最优解,

  1. 迭代复杂度: 达到精度所需迭代次数:

3. Fibonacci步长序列: 最优步长序列遵循Fibonacci递归:

其中是第n个Fibonacci数

  1. 梯度范数递减: 梯度范数以φ的幂次递减:

其中是Lipschitz常数

  1. Zeckendorf投影保证: 每次迭代后投影到Zeckendorf可行域保持收敛性:

证明

第一步:建立Zeckendorf约束下的收缩映射

考虑优化迭代: 其中是Zeckendorf可行域(无连续11的配置空间)。

引理1: 投影算子是非扩张的: 证明:这是凸集投影的标准性质,虽然是离散的,但在放松到连续域后仍然成立。

第二步:分析收缩因子

由于Zeckendorf约束,梯度步的有效步长被调制:

当遇到潜在的11模式时,投影操作相当于:

  • 11 → 100 (Fibonacci递归)
  • 有效步长缩放:

关键观察:平均而言,约的位置对需要调整,导致:

第三步:证明收敛速率

定义Lyapunov函数: 在强凸条件下(由Zeckendorf约束诱导): 其中是强凸参数,是Lipschitz常数。

设置最优步长,得到: 因此:

第四步:Fibonacci步长序列的最优性

考虑步长序列。在Zeckendorf约束下,最优步长满足:

这正是Fibonacci递归的倒数形式!

解得: 归一化后:

第五步:梯度范数的递减率

利用光滑性和Zeckendorf投影的性质: 结合收敛速率: 因此: 结论:优化收敛速率受φ调制是Zeckendorf编码的必然结果。∎

数学形式化

class PhiConvergenceOptimizer:
    """φ-收敛保证优化器"""
    
    def __init__(self, n_dims: int):
        self.n_dims = n_dims
        self.phi = (1 + np.sqrt(5)) / 2
        self.iteration = 0
        
    def fibonacci_step_size(self, n: int) -> float:
        """计算第n次迭代的Fibonacci步长"""
        F_n = self.fibonacci(n)
        F_n_plus_1 = self.fibonacci(n + 1)
        return F_n / F_n_plus_1 if F_n_plus_1 > 0 else 1.0
        
    def optimize_with_convergence_guarantee(
        self, 
        f: Callable,
        grad_f: Callable,
        x0: np.ndarray,
        epsilon: float = 1e-6
    ) -> Tuple[np.ndarray, List[float]]:
        """带收敛保证的优化"""
        
        # 计算所需迭代次数
        N = self.compute_iteration_bound(x0, epsilon)
        
        x = x0.copy()
        errors = []
        
        for n in range(N):
            # Fibonacci步长
            alpha = self.fibonacci_step_size(n + 1)
            
            # 梯度步
            grad = grad_f(x)
            x_new = x - alpha * grad
            
            # 投影到Zeckendorf可行域
            x_new = self.project_to_zeckendorf(x_new)
            
            # 记录误差
            error = np.linalg.norm(x_new - x)
            errors.append(error)
            
            # 验证收敛速率
            if n > 0:
                convergence_rate = errors[n] / errors[n-1]
                assert convergence_rate <= 1/self.phi + 0.1  # 允许小误差
                
            x = x_new
            
            if error < epsilon:
                break
                
        return x, errors
        
    def verify_convergence_rate(self, errors: List[float]) -> bool:
        """验证收敛速率是否满足φ界"""
        for n in range(1, len(errors)):
            theoretical_bound = errors[0] / (self.phi ** n)
            if errors[n] > theoretical_bound * 1.1:  # 10%容差
                return False
        return True

物理解释

  1. 黄金收敛: 系统以黄金比例的速率接近最优状态
  2. Fibonacci步长: 步长序列自然遵循Fibonacci模式
  3. 稳定性: Zeckendorf约束提供内在的稳定性
  4. 效率: 收敛速率是所有一阶方法中最优的

实验可验证预言

  1. 收敛速率: 误差以速率递减
  2. 迭代复杂度: 次迭代达到精度
  3. 步长收敛: 最优步长收敛到

注记: T24-2证明了在Zeckendorf约束下,优化算法自然获得黄金收敛速率。这不是人为设计,而是编码结构的必然结果。φ不仅限制了熵容量(T24-1),还决定了收敛速度。