D1-10: 熵-信息等价性的精确数学定义

定义概述

在满足No-11约束的二进制宇宙中，熵与信息在自指完备系统中达到完全等价。此定义基于Zeckendorf编码系统，建立了熵度量与信息量化之间的双射关系，为唯一公理A1提供了φ-编码框架下的数学基础。

形式化定义

定义1.10（熵-信息等价性）

对于自指完备系统S，在φ-表示系统下，熵与信息满足严格等价关系：

$$\mathcal{E}\mathcal{I}(S)\equiv H_{\varphi }(S)=I_{\varphi }(S)⟺\text{SelfRefComplete}(S)$$

其中：

• $H_{\varphi }(S)$：系统的φ-熵
• $I_{\varphi }(S)$：系统的φ-信息量
• $\text{SelfRefComplete}(S)$：系统满足自指完备性（D1.1）

Zeckendorf编码下的熵度量

φ-熵定义

对于系统状态$s\in S$，其Zeckendorf表示为$Z(s)={\sum }_{i\in {\mathcal{I}}_s}{F}_i$，系统的φ-熵定义为：

$$H_{\varphi }(S)=-\sum _{s\in S}{p}_{\varphi }(s){\log }_{\varphi }{p}_{\varphi }(s)$$

其中：

• $p_{\varphi }(s)=\frac{|Z(s){|}_{\varphi }}{{\sum }_{s^{\prime }\in S}|Z(s^{\prime }){|}_{\varphi }}$：φ-概率分布
• $|Z(s){|}_{\varphi }={\sum }_{i\in {\mathcal{I}}_s}1$：Zeckendorf表示的Fibonacci项数
• ${\log }_{\varphi }$：以黄金比例φ为底的对数

No-11约束下的概率归一化

在No-11约束下，概率分布必须满足：

$$\sum _{s\in S}{p}_{\varphi }(s)=1\wedge \forall s,s^{\prime }\in S:\text{Adjacent}(s,s^{\prime })\Rightarrow p_{\varphi }(s)\cdot p_{\varphi }(s^{\prime })<1$$

这确保了相邻状态的联合概率不会违反No-11约束。

Zeckendorf编码下的信息量化

φ-信息量定义

系统的φ-信息量通过Zeckendorf编码的结构复杂度定义：

$$I_{\varphi }(S)=\sum _{s\in S}{\mathcal{C}}_Z(s)$$

其中Zeckendorf复杂度：

$${\mathcal{C}}_Z(s)={\log }_{\varphi }\left(\underset{i\in {\mathcal{I}}_s}{\max }{F}_i\right)+\frac{|{\mathcal{I}}_s|}{\varphi }$$

信息的递归结构

对于自指完备系统，信息具有递归性质：

$$I_{\varphi }(f(S))=\varphi \cdot I_{\varphi }(S)+{\log }_{\varphi }(\varphi )$$

这体现了黄金比例在信息增长中的基本作用。

等价性定理

定理1.10.1（熵-信息等价）

对于自指完备系统S，以下等价成立：

$$\text{SelfRefComplete}(S)\Rightarrow H_{\varphi }(S)=I_{\varphi }(S)$$

证明要点：

1. 自指完备性确保系统的完全可描述性
2. Zeckendorf编码的唯一性保证了一一对应
3. No-11约束下的归一化使得熵与信息度量收敛

定理1.10.2（熵增的信息表述）

在φ-编码系统中，熵增等价于信息增长：

$$\Delta H_{\varphi }=\Delta I_{\varphi }={\log }_{\varphi }\left(\frac{|Z(S_{t+1})|}{|Z(S_t)|}\right)$$

Zeckendorf运算规则

熵的Zeckendorf加法

两个独立子系统的熵满足Zeckendorf加法：

$$H_{\varphi }(S_1\oplus S_2)=H_{\varphi }(S_1){\oplus }_Z{H}_{\varphi }(S_2)$$

其中${\oplus }_Z$是Zeckendorf加法运算：

$$a{\oplus }_{Z}b=Z^{-1}(Z(a)+Z(b))$$

需要进位规则处理连续Fibonacci项。

信息的φ-乘法

信息的组合遵循φ-乘法规则：

$$I_{\varphi }(S_1\otimes S_2)=I_{\varphi }(S_1){\cdot }_{\varphi }{I}_{\varphi }(S_2)$$

其中：

$$a{\cdot }_{\varphi }b=Z^{-1}\left(\sum _{i\in {\mathcal{I}}_a,j\in {\mathcal{I}}_b}{F}_{i+j-1}\right)$$

No-11约束的熵界限

上界定理

在No-11约束下，n位系统的最大熵为：

$$H_{\max }(n)={\log }_{\varphi }{F}_{n+2}$$

这是因为n位无"11"串的数量恰好是$F_{n+2}$。

下界定理

自指完备系统的最小熵满足：

$$H_{\min }(S_t)=t\cdot {\log }_{\varphi }\varphi =t$$

这反映了时间演化的必然熵增。

熵-信息转换算法

算法1.10.1（熵到信息转换）

Input: 熵值 H_φ
Output: 信息量 I_φ

1. 将H_φ转换为Zeckendorf表示: Z(H_φ)
2. 对每个Fibonacci分量F_i ∈ Z(H_φ):
   a. 计算信息贡献: c_i = log_φ(F_i) + 1/φ
   b. 累加到总信息量
3. 应用No-11约束修正:
   - 如果存在连续索引，应用进位规则
4. Return I_φ

算法1.10.2（信息到熵转换）

Input: 信息量 I_φ
Output: 熵值 H_φ

1. 解析I_φ的Zeckendorf结构
2. 构建概率分布p_φ
3. 计算H_φ = -Σ p_φ log_φ p_φ
4. 验证No-11约束
5. Return H_φ

实例与应用

基本系统的熵-信息值

自指系统的熵演化

对于自指函数$f(S)=S$，熵演化满足：

$$H_{\varphi }(S^{(n)})=n\cdot {\log }_{\varphi }\varphi +H_{\varphi }(S^{(0)})=n+H_{\varphi }(S^{(0)})$$

理论意义

与唯一公理A1的关系

熵-信息等价性为A1公理提供了精确的数学表述：

• 自指完备性通过Zeckendorf编码实现
• 熵增通过φ-信息增长量化
• No-11约束确保了系统的动态性

与其他定义的一致性

• D1.1：自指完备性是等价性的前提条件
• D1.6：φ-熵是标准熵在Zeckendorf编码下的推广
• D1.8：φ-表示系统提供了编码基础

计算复杂度

熵计算

• 时间复杂度：$O(|S|{\log }_{\varphi }|S|)$
• 空间复杂度：$O(|S|)$

信息计算

• 时间复杂度：$O(|S|\cdot k)$，其中k是最大Fibonacci索引
• 空间复杂度：$O(|S|)$

等价性验证

• 时间复杂度：$O(|S|{\log }_{\varphi }|S|)$
• 空间复杂度：$O(|S|)$

符号约定

• $H_{\varphi }$：φ-熵
• $I_{\varphi }$：φ-信息量
• $Z(\cdot )$：Zeckendorf编码函数
• $F_i$：第i个Fibonacci数
• ${\mathcal{I}}_s$：状态s的Fibonacci索引集
• ${\oplus }_Z$：Zeckendorf加法
• ${\cdot }_{\varphi }$：φ-乘法
• ${\log }_{\varphi }$：以φ为底的对数

依赖关系：

• 基于：D1.1 (自指完备性)，D1.6 (熵定义)，D1.8 (φ-表示系统)
• 支持：后续关于熵增定理和信息理论的发展

引用文件：

• 定理T1-1将使用此等价性证明熵增必然性
• 定理T5-1将建立Shannon熵的涌现
• 推论C7-6将扩展到能量-信息等价

形式化特征：

• 类型：定义 (Definition)
• 编号：D1-10
• 状态：完整形式化定义
• 验证：满足最小完备性和No-11约束

注记：本定义在Zeckendorf编码的二进制宇宙中建立了熵与信息的完全等价性，为自指完备系统的熵增提供了信息论基础。